La Topología es la disciplina Matemática que estudia las propiedades en los espacios topológicos y las funciones continuas. Se interesa por conceptos como proximidad, tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, compara objetos y los clasifica entre múltiples atributos de los que destacan conectividad, compacidad, metricidad, etcétera. Son relevantes las propiedades de los objetos que permanecen invariables bajo un estado de deformación constante.

Generalmente conocida como la geometría de la superfície de goma debido a que en Geometría Euclídea dos objetos son equivalentes cuando podemos transformar el uno en el otro mediante isometrías como la rotación, traslación, reflexión, etc; en Topología, dos objetos son equivalentes en sentido más amplio. Han de tener el mismo número de partes, de vacios, de intersecciones, etc. En topología se permite doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., siempre que los objetos no se rompan ni se separen las uniones iniciales. Ejemplo: un triángulo es topológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento ya que habría que cortarla en algún punto. Ésta es la razón por la que se llama la geometría de la superfície de goma, porque es el estudio de la Geometría sobre una superfície elástica que puede contraerse y estirarse.

La Topología no trata sólo de objetos y conceptos geométricos; es la Geometría la que trata sólo con un cierto tipo de objetos topológicos. En muchos casos es imposible representar en una imagen los problemas topológicos. Intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre principiantes y legos en Topología. Se nutre también de conceptos cuya inspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas topológicos.

HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

Históricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite y al de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de los inconmesurables descubiertos por Pitágoras ante la aparición de números reales no racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes. La aparición del Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar el concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a la aparición de la Topología, a finales del siglo XIX y principios del XX.

El término topología lo acuña por primera vez Johan Bennedict Listing, en 1836 en una carta1 a su antiguo profesor Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur Topologie (Estudios previos a la Topología), publicado en 1847. Anteriormente se la denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio métrico en 1906.

El origen de la Topología como disciplina científica lo inagura la resolución por parte de Euler del problema de los Puentes de Königsberg, en 1735. Ciertamente, la resolución de Euler del problema utiliza un planteamiento topológico. La característica de Euler, el primer invariante de la Topología Algebraica. La situación es exactamente análoga a la del cálculo del área de la elipse por Arquímedes.

RAMAS DE LA TOPOLOGÍA

Se consideran actualmente tres ramas:

Topología General o Topología Conjuntista.
Topología Algebraica.
Topología Diferencial o Geometría Diferencial.

Además de estas tres ramas propiamente topológicas, la implicación en mayor o menor medida en otras disciplinas matemáticas hacen que muchos consideren parte de la Topología al Análisis Funcional, la Teoría de la Medida, la Teoría de Nudos (parte de la Topología de dimensiones baja), la Teoría de Grupos Topológicos, etc. Es fundamental su contribución a la Teoría de Grafos, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Funcionales, Variable Compleja, Geometría Diferencial, Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa, Estadística, Teoría del Caos, Geometría Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biología, Sociología, Biosociología, etc.

CONVERGENCIA

La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que está próximo a él. Evidentemente, al hacerlo se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manera sistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos. Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo va bien, terminarían llevándonos al objeto, aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión, es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otros conjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.

La Topología no trabaja con errores ni con aproximaciones. Eso entra en el ámbito del Análisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La Topología lo que hace en este problema es aportar las herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de vista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puede ser una sucesión) se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).

Compacidad

Los conjuntos compactos son un tipo de conjunto mucho más difíciles de definir. Basta con decir que un conjunto es compacto si no es posible que sus elementos "tiendan a escaparse de él". En lógica matemática, el Teorema de Compacidad establece que un conjunto (posiblemente infinito) de sentencias de primer orden tiene un modelo, si todos sus subconjuntos finitos tienen un modelo

Metrización

Una topología sobre un conjunto es metrizable si es posible encontrar una distancia de forma que los abiertos para esa distancia sean exactamente los abiertos de la topología de partida. La metrizabilidad es también una propiedad fundamental en un espacio topológico, pues nos permite dar una caracterización muy sencilla de los abiertos de la topología, además de implicar otras ciertas propiedades.

Separación

Las propiedades de separación de puntos son ciertas propiedades, cada una un grado más restrictiva que la anterior, que nos hablan de si una topología permite tener entornos distintos para puntos distintos, es decir, si dos puntos (o dos subconjuntos) son distintos, ¿existen siempre entornos de los puntos que no tengan nada en común?

Densidad

Un conjunto es denso en el espacio si está "cerca de todos los puntos" de ese espacio. De manera más precisa, un conjunto es denso si su clausura es todo el espacio. Un conjunto se dice que es separable si tiene algún subconjunto denso y numerable.

Topología producto

La topología producto de varios espacios topológicos nos proporciona una manera de dotar de una topología al producto cartesiano de espacio topológicos, de tal manera que se conserven buenas propiedades. La topología cociente de un espacio mediante una relación nos dota de topología al conjunto cociente de un espacio topológico por una relación de equivalencia (es decir, se establece una propiedad por la cual diremos que dos elementos distintos son equivalentes si cumplen esa propiedad; en ese caso, el conjunto cociente es aquél en el que los elementos equivalentes se consideran iguales, y la topología cociente es aquella que respeta esa relación de equivalencia).lojve

Topología Algebraica

La Topología Algebraica estudia ciertas propiedades relacionadas con la conexión de un espacio, propiedades que podríamos describir como la "porosidad" de un espacio, la cantidad de boquetes que presenta. Para ello se vale de instrumentos algebraicos, fundamentalmente la Teoría de Grupos y el Álgebra Homológica, hasta tal punto que su desarrollo es totalmente algebraico.

En la Topología Algebraica se consideran una gran diversidad de problemas incluidos en la Teoría de nudos por ejemplo, o en la Teoría de Homotopías y la Teoría de Homología.

Para comprender sucintamente estas cuestiones, volvamos a los ejemplos de conjuntos conexos. Según hemos dicho, una rejilla, una bola de hierro o una esponja son conjuntos conexos. Sin embargo todos entendemos que parece que no tienen el mismo "grado de conexión", por expresarlo de alguna manera. Mientras que una bola de hierro es maciza, una esponja y una rejilla tienen agujeros, e incluso parece claro que entre estos hay también una cierta diferencia. La Homotopía y la Homología tratan estas cuestiones.

(...) In fieri.

NOTAS

1 - (...) The entire doctrine being rather new, he felt justified to give it a new name and therefore called it "topology", which he though more appropriate.(...)
E Breitenberger, Johann Benedict Listing, in I M James (ed.), History of Topology (Amsterdam, 1999), 909-924.